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En mathématiques, les axiomes de Peano sont des axiomes pour l'arithmétique proposés initialement à la fin du XIX^e siècle par Giuseppe Peano^[1], et qui connaissent aujourd'hui plusieurs présentations qui ne sont pas équivalentes, suivant la théorie sous-jacente, théorie des ensembles, logique du second ordre ou d'ordre supérieur, ou logique du premier ordre.

Axiomes |

La définition axiomatique des entiers naturels de Peano peut être décrite informellement par les cinq axiomes ^[2] :

1. L'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.


2. Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.


3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.


4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.


5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Le premier axiome permet de poser que l'ensemble N des entiers naturels n'est pas vide, le troisième qu'il possède un premier élément et le cinquième qu'il vérifie le principe de récurrence.

De façon plus formelle, dire d'un triplet (E, c, f) qu'il satisfait à ces axiomes, c'est dire qu'il satisfait aux propriétés suivantes :

1. 
   E est un ensemble, c est un élément de E,


2. 
   f est une application de E dans lui-même,


3. 
   c ∉ Im(f),


4. 
   f est injective,


5. Toute partie F de E contenant c et stable par f (c'est-à-dire telle que f(F) ⊂ F) est égale à E.

Une telle structure est appelée structure de Dedekind-Peano (d'après le mathématicien Richard Dedekind)^[3].

La formulation de la propriété 5 contient une quantification sur les parties de E : une telle propriété est dite du second ordre.

Arithmétique de Peano |

L'arithmétique de Peano est, d'une certaine façon, la « restriction » des axiomes de Peano au langage de l'arithmétique du premier ordre, c'est-à-dire le calcul des prédicats égalitaire avec pour signature {0, s, + , ∙}. Les variables du langage désignent des objets du domaine d'interprétation, ici des entiers. Dans ce langage du premier ordre, on ne dispose pas de variables pour les ensembles d'entiers, et on ne peut quantifier sur ces ensembles. On ne peut donc pas exprimer directement la récurrence par un énoncé tel que celui du paragraphe précédent (« tout sous-ensemble … »). On considère alors qu'un sous-ensemble de N est exprimé par une propriété de ses éléments, propriété que l'on écrit dans le langage de l'arithmétique.

Les axiomes de Peano deviennent alors les axiomes suivants :

1. ∀x¬(sx=0){displaystyle forall xlnot (sx=0)}


2. ∀x(x=0∨∃y(x=s(y))){displaystyle forall xleft(x=0lor exists yleft(x=s(y)right)right)}


3. ∀x∀y(sx=sy→x=y){displaystyle forall xforall y(sx=syrightarrow x=y)}


4. ∀x(x+0=x){displaystyle forall x(x+0=x)}


5. ∀x∀y(x+sy=s(x+y)){displaystyle forall xforall y(x+sy=s(x+y))}


6. ∀x(x⋅0=0){displaystyle forall x(xcdot 0=0)}


7. ∀x∀y(x⋅sy=(x⋅y)+x){displaystyle forall xforall y(xcdot sy=(xcdot y)+x)}


8. Pour toute formule ϕ(x,x1,…,xn){displaystyle phi (x,x_{1},ldots ,x_{n})} à n + 1 variables libres, ∀x1…∀xn((ϕ(0,x1,…,xn)∧(∀x(ϕ(x,x1,…,xn)→ϕ(sx,x1,…,xn))))→∀xϕ(x,x1,…,xn)){displaystyle forall x_{1}ldots forall x_{n}left(left(phi left(0,x_{1},ldots ,x_{n}right)wedge left(forall xleft(phi left(x,x_{1},ldots ,x_{n}right)rightarrow phi left(sx,x_{1},ldots ,x_{n}right)right)right)right)rightarrow forall xphi left(x,x_{1},ldots ,x_{n}right)right)}
   

Le point 8 ci-dessus est un schéma d'axiomes, qui représente une infinité dénombrable d'axiomes, un pour chaque formule ϕ(x,x1,…,xn){displaystyle phi (x,x_{1},ldots ,x_{n})}. Le schéma d'axiomes exprime la récurrence : dans la formule ϕ(x,x1,…,xn){displaystyle phi (x,x_{1},ldots ,x_{n})}, les variables (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} sont des paramètres, que l'on peut remplacer par des entiers arbitraires (p1,…,pn){displaystyle (p_{1},ldots ,p_{n})}. L'axiome pour la formule ϕ(x,x1,…,xn){displaystyle phi (x,x_{1},ldots ,x_{n})} devient, appliqué à (p1,…,pn){displaystyle (p_{1},ldots ,p_{n})} :

((ϕ(0,p1,…,pn)∧(∀x(ϕ(x,p1,…,pn)→ϕ(sx,p1,…,pn))))→∀xϕ(x,p1,…,pn)){displaystyle left(left(phi left(0,p_{1},ldots ,p_{n}right)wedge left(forall xleft(phi left(x,p_{1},ldots ,p_{n}right)rightarrow phi left(sx,p_{1},ldots ,p_{n}right)right)right)right)rightarrow forall xphi left(x,p_{1},ldots ,p_{n}right)right)}

Ce qui exprime bien que, si l'ensemble {x∈N∣ϕ(x,p1,…,pn)}{displaystyle left{xin mathbb {N} mid phi left(x,p_{1},ldots ,p_{n}right)right}} contient 0 et s'il contient le successeur de chacun de ses éléments, c'est N.

Cependant, le schéma d'axiomes ne donne plus cette propriété que pour les sous-ensembles de N qui se définissent dans le langage de l'arithmétique du premier ordre : une infinité dénombrable de sous-ensembles de N.

On^{[Qui ?]} peut montrer que l'arithmétique de Peano ne peut être finiment axiomatisée^{[réf. nécessaire]}, à moins de modifier le langage^{[C'est-à-dire ?]}. Cela n'a donc pas forcément grand sens de chercher à minimiser les axiomes. On peut tout de même remarquer que l'axiome 2 pourrait être éliminé. Il se démontre par récurrence, une récurrence assez singulière, puisqu'il faut bien distinguer le cas 0 du cas successeur, mais que dans ce dernier cas, l'hypothèse de récurrence n'est pas utile.

Il est également à noter que du remplacement dans la signature du symbole de fonction s par un symbole de constante, par exemple (nullement au hasard) 1, résulte une théorie tout à fait équivalente grâce à la présence de l'addition, via le traducteur définissant les notations suivantes: 1:=s0{displaystyle 1:=s0} dans un sens et ∀x,sx:=x+1{displaystyle forall x,sx:=x+1} dans l'autre (ce sera détaillé plus bas).

Existence et unicité |

L'existence d'une structure de Dedekind-Peano peut être établie par une construction très usuelle dans le cadre de la théorie des ensembles :

• On pose 0 = ∅.


• On définit la « fonction » (au sens intuitif) successeur s en posant, pour tout ensemble a,

s(a) = a ∪ {a}.

On remarque que pour tous ensembles a et b :

s(a) ≠ 0 ;   s(a) = s(b) ⇒ a = b.

L'ensemble N est l'intersection de tous les ensembles auxquels 0 appartient, et qui sont clos par successeur ; A est clos par successeur, quand pour tout a élément de A, son successeur s(a) est encore élément de A.
Pour que cette définition soit correcte, il faut qu'il existe au moins un tel ensemble, ce qui est assuré par l'axiome de l'infini.

La structure (N, 0, s_N), où s_N est la restriction de s à N, satisfait alors les axiomes pré-cités. On peut définir N comme l'ensemble des entiers naturels.

Cet ensemble est aussi l'ensemble des ordinaux de von Neumann finis. Cette construction de N n'est pas vraiment canonique, l'essentiel est que 0 ne soit jamais un successeur et que le successeur soit injectif sur l'ensemble obtenu, mais elle permet de construire de façon simple et uniforme un ensemble représentant chaque cardinalité finie (l'entier n ainsi construit a, en tant qu'ensemble, pour cardinal n), l'axiome de l'infini permettant de prouver qu'ils forment un ensemble.

Deux structures de Dedekind-Peano (X,a,f) et (Y,b,g) sont dites isomorphes s'il existe une bijection ϕ de X dans Y telle que ϕ(a) = b et ϕ ∘ f = g ∘ ϕ. On peut montrer que toutes les structures de Dedekind-Peano sont isomorphes.

Opérations et ordre |

L'addition et la multiplication sont définies sur N par l'arithmétique de Peano. Les axiomes de Peano ne permettent pas de les définir au second ordre (leurs graphes ne peuvent être définis qu'à l'ordre au moins six)^{[réf. nécessaire]} ; ils ne sont donc définis que dans la métathéorie ensembliste, ou bien leurs symboles doivent être ajoutés au langage et leur définition aux axiomes, ou encore a + b et a×b doivent être considérés comme des notations extra-logiques simplificatrices pour respectivement s...sa (avec b « s ») et a + ... +a (avec b « a »).

L'addition sur N est définie récursivement par les axiomes 4 et 5 de l'arithmétique de Peano. (N, +) est ainsi un monoïde commutatif, d'élément neutre 0. Ce monoïde peut être plongé dans un groupe. Le plus petit groupe le contenant est celui des nombres entiers relatifs.

Puisque s(0) = 1, s(b) = s(b + 0) = b + s(0) = b + 1. Le successeur de b est simplement b + 1.

De façon analogue, en supposant que l'addition a été définie, la multiplication sur N est définie par les axiomes 6 et 7 de l'arithmétique de Peano. (N, ∙) est ainsi un monoïde commutatif, d'élément neutre 1.

Il est finalement possible de définir un ordre total sur N, par un prédicat binaire n'appartenant pas au langage mais défini sur sa base, qui ne définit pas non plus un objet de N donc appartient au métalangage (du moins au premier ordre) qui est ici ensembliste, en posant que a ≤ b si et seulement s'il existe un nombre c tel que a + c = b. Alors, N muni de cet ordre est un ensemble bien ordonné : tout ensemble non vide de nombres naturels possède un plus petit élément.

Cohérence |

En vertu du second théorème d'incomplétude de Gödel, la non-contradiction de ces axiomes entre eux n'est pas conséquence de ces seuls axiomes : on ne peut pas prouver la cohérence de l'arithmétique dans l'arithmétique.

Une structure de Dedekind-Peano est un modèle de ces axiomes. La construction ci-dessus fournit donc une preuve de cohérence des axiomes relativement à une théorie dans laquelle on peut définir ces structures, et formaliser la preuve de correction, par exemple la théorie des ensembles de Ernst Zermelo. Il existe également des preuves de cohérence relative, notamment celle (en) de Gerhard Gentzen qui fournit une mesure précise de la « force » de l'arithmétique : il suffit d'ajouter un principe d'induction jusqu'à l'ordinal dénombrable ε₀ (en) pour pouvoir démontrer la cohérence de l'arithmétique^[4].

Modèles non standard |

Un modèle de l'arithmétique de Peano qui n'est pas une structure de Dedekind-Peano, et n'est donc pas isomorphe à N, est dit « non standard ».

Tout modèle non standard de l'arithmétique contient les entiers naturels, que l'on appelle alors, entiers « standard », et qui sont les éléments du modèle que l'on peut désigner par des termes du langage, les autres éléments du modèle sont alors appelés entiers non standard.

Plus précisément si N' est un modèle non standard de l'arithmétique, alors il existe une unique^{[réf. souhaitée]}injection f de N dans N' telle que :

• 
  f(0) = 0


• ∀n, f(s(n)) = s(f(n))

et l'image de f est ce que l'on appelle l'ensemble des entiers standard du modèle.

Il n'est pas possible de distinguer les entiers standard des entiers non standard dans le langage de l'arithmétique, puisque si un prédicat permettait de caractériser les entiers standard, le schéma de récurrence particularisé à ce prédicat ne serait pas valide. On « sort » donc de l'arithmétique de Peano dès que l'on raisonne sur ces notions dans un modèle non standard. Mais, on peut se servir du fait que les axiomes de Peano restent valides dans ce modèle. On montre par exemple facilement qu'un entier non standard est nécessairement supérieur à un entier standard. La totalité de l'ordre (défini par l'addition, voir ci-dessus), reste valide. Si un entier non standard était plus petit qu'un entier standard, on montrerait par injectivité du successeur et récurrence qu'il existe un entier non standard plus petit que 0, et 0 serait un successeur. Encore plus simplement, on montre qu'il ne peut y avoir de plus petit entier non standard, puisque tout entier non nul est un successeur.

Existence des modèles non standard |

• Le théorème de compacité et le théorème de Löwenheim-Skolem assurent qu'il existe des modèles dénombrables non standard de l'arithmétique de Peano qui satisfont exactement les mêmes énoncés du premier ordre que N. Abraham Robinson fonde l'analyse non standard sur un modèle de l'arithmétique satisfaisant en particulier cette condition.


• Il existe également des modèles non standards qui satisfont des énoncés du premier ordre faux dans N (en plus, rappelons-le, de tous les énoncés démontrables dans Peano, par définition de la notion de modèle). Un énoncé vrai dans N n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano, si et seulement s'il existe un modèle non standard dans lequel cet énoncé est faux. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont donc pour conséquence l'existence de tels modèles (par exemple, il existe des modèles qui satisfont un énoncé exprimant que l'arithmétique de Peano est incohérente !). A contrario, on peut utiliser de tels modèles pour montrer que certains énoncés ne sont pas démontrables dans l'arithmétique de Peano (voir par exemple le théorème de Goodstein).

Axiomatique de Presburger |

L'arithmétique de Presburger est une restriction de l'arithmétique de Peano où l'on élimine la multiplication, mais demeurent le successeur et l'addition (le prédicat binaire d'ordre est donc toujours définissable, et le langage peut utiliser la constante 1 plutôt que la fonction successeur s). Elle est beaucoup moins expressive, mais complète et décidable.

Elle comporte les axiomes suivants (les variables libres sont implicitement quantifiées universellement) :

1. ¬(0 = sx)


2. 
   sx = sy → x = y
   


3. 
   x + 0 = x
   


4. s(x + y) = x + sy


5. Soit P(x) une formule logique du premier ordre (dans le langage de l'arithmétique de Presburger, pas d'autre symbole de fonction que l'addition) avec comme variable libre x (et éventuellement d'autres variables libres). Alors la formule suivante est un axiome :

(P(0) ∧ ∀x(P(x) → P(sx))) → P(y).

Annexes |

Articles connexes |

• Système unaire


• Arithmétique


• Analyse non standard


• Arithmétique du second ordre

Références |

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